119. 数学的理想是建立一种演算体系，以促进对一切思维领域或外部经验的推理——只要其中的思维序列或事件序列能被明确判定并精确表述。因此，所有非哲学、非归纳推理、非文学想象的严肃思想，皆可视为通过演算发展的数学。——怀特海《普遍代数》（剑桥，1898），前言。
数学之极则，当立演算以助思理，凡思想之序、事物之列可确知者，皆可入算。故严肃之思非哲学非归纳推理非文学想象者，皆可藉演算推演之。——怀特海《泛代数》（剑桥，1898），序。
120. 数学是得出必然结论的科学。——皮尔斯《线性结合代数》，《美国数学杂志》第4卷（1881），第97页。
数学者，必然之结论所由出也。——皮尔斯《线性结合代数》，《美国数学杂志》卷四（1881），页九七。
121. 数学乃普适的必然性艺术。——史密斯（引自凯泽《科学、哲学与艺术讲座》，纽约，1908，第13页）。
数学者，放之四海而皆准之必然性艺术也。——史密斯（见凯泽《科学、哲学与艺术讲演录》，纽约，1908，页一三）。
122. 数学在其最广泛的意义上，是所有形式的、必然的、演绎推理的发展。——怀特海《普遍代数》（剑桥，1898），前言，第vi页。
数学之广者，乃诸般形式必然推演之术所由发展也。——怀特海《泛代数》（剑桥，1898），序，页六。
123. 数学从根本上说是研究不言自明之事的科学。——克莱因《微分积分在几何中的应用》（莱比锡，1902），第26页。
数学之大本，乃自明之理之学也。——克莱因《微分积分术施于几何》（莱比锡，1902），页廿六。
124. 数学科学是指能够被抽象表述并按特定方式排列的命题集合，其中每个命题都是前面某些或全部命题的形式逻辑结果。数学由所有这样的数学科学组成。——杨《代数与几何基本概念》（纽约，1911），第222页。
数学之学，乃命题之聚也。其可抽象以陈，循式而列，且诸命题皆为前列部分或全体命题之逻辑必然。数学之广，即由斯类诸学而构成焉。
——杨《代数与几何基本概念》（纽约，1911），第二百二十二页
125. 纯数学是由假设性的演绎理论组成的集合，每个理论都包含一个由原始的、未定义的概念或符号，以及原始的、未经证明但自洽的假设（通常称为公理）构成的确定系统，连同通过严格演绎过程得出的逻辑推论，且不诉诸直觉。——菲奇《四维空间简释》（纽约，1910），第58页。
纯粹数学者，乃假设推演诸说之集，每说含原始未定之义、符号及自洽未证之设（曰公理），并其逻辑所推之果，皆不假直观而得。——菲奇《四维解》（纽约，1910），页五八。
126. 整个数学在于组织一系列辅助想象的工具以进行推理过程。——怀特海《普遍代数》（剑桥，1898），第12页。
数学之全体，乃整饬诸术以助推理想象者也。——怀特海《泛代数》（剑桥，1898），页十二。
127. 纯数学完全由这样的断言组成：如果某个命题对任何事物为真，则另一个命题对该事物也为真。关键不在于讨论第一个命题是否确实为真，也不提及该事物具体是什么......如果我们的假设是关于任何事物而非特定事物，那么我们的推论就构成了数学。因此，数学可以定义为：我们永远不知道在谈论什么，也不知道所说是否为真的学科。——罗素《数学原理的最新研究》，《国际月刊》第4卷（1901），第84页。
纯粹数学，尽为若某命题于物为真，则他命题亦真之断。要义不在辩初命题之真否，亦不言所指何物......若所设乃泛言万物而非特指，则所推即为数学。故数学可定义为：不知所言何物，亦不知所言真否之学。——罗素《算理新究》，《万国月报》卷四（1901），页八四。
128. 纯数学是所有具有p蕴含q形式的命题类，其中p和q是含有一个或多个相同变量的命题，且p和q都不包含除逻辑常数外的任何常数。逻辑常数是指所有可以用以下概念定义的概念：蕴含、项与其所属类的关系、如此以至于的概念、关系的概念，以及包含在上述命题一般概念中的其他概念。除此之外，数学还使用一个不是其所考虑命题组成部分的概念——即真值的概念。——罗素《数学原理》（剑桥，1903），第1页。
纯粹数学者，乃p含q式诸命之属，p与q皆含变元，同于二命，且不含逻辑常元外之常元。逻辑常元者，可藉、、、诸义而定。复有数学所用而非命题之元者，乃之义也。——罗素《数学原理》（剑桥，1903），页一。
129. 纯粹物理学的目标是揭示可理解世界的规律，纯粹数学的目标是揭示人类智力的规律。——西尔维斯特《论与牛顿法则相关的定理等》，《数学论文集》第3卷，第424页。
纯粹物理之鹄的，在揭橥可知世界之轨则；纯粹数学之指归，乃阐发人类心智之条理。
——西尔维斯特《论与牛顿法则相关之定理等》，载《数学论文集》第三卷，第四百二十四页
130. 首先我们应当注意到，严格意义上的数学命题总是先验判断而非经验判断，因为它们必然为真，而这种必然性永远无法从经验中推导出来。如果有人反对这一点，我很乐意将我的论述限定在纯粹数学范围内——纯粹数学这一概念本身就意味着它不包含经验知识，只包含先验的纯粹知识。——康德《纯粹理性批判》（纽约，1900），第720页。
首当察之，严而论之，数学命题皆为先验之判，非经验之断也。盖其真乃必然，而此必然性，终不可自经验中推得。若有异议，吾愿将所言囿于纯粹数学。夫“纯粹数学”之名，已明其不涉经验之知，唯涵先验之纯理也。
——康德《纯粹理性批判》（纽约，1900），第七百二十页
131. 数学作为研究理想世界的科学，成为了探索、理解和阐释现实世界的手段。复杂的事物通过简单的事物来表达。从某个角度看，数学可以被定义为用简单概念逐步替代复杂概念的科学......——怀特《初等数学札记》（芝加哥，1908），第215页。
数学者，究理想之科，而为察实界之器。繁者以简者表之。或可定义曰：数学乃以简代繁之术也......——怀特《初等数学札记》（芝加哥，1908），页二一五。
132. 批判性的数学家已经放弃了对真理的追求。他不再自诩他的命题能够被他或任何其他人确认为真；他满足于追求正确性或一致性。这种区分并不会因为一致性本身就隐含某种真理的思考而被取消甚至模糊。他并非绝对确定，但他深信有可能找到若干由少数命题组成的集合，其中每个集合的命题都是相容的，每个集合的命题都能推出其他命题，而且后者可以确定地从前者推导出来。也就是说，他相信存在连贯或一致的命题系统，并将发现这些系统视为己任。任何这样的系统都是数学的一个分支。——凯泽《科学》新系列第35卷，第107页。
审慎之数学家，已弃求真理。不复自谓其题可证为真，但求其确与一贯而已。虽一贯之中自含真际，而其别不泯。彼虽未敢遽定，然深信可得多组简题，各组自洽，且能推演他题无疑。是故彼以为有融贯之题系，而求此系即其业也。凡此之类，皆为数学一支。——凯泽《格致》新编卷三五，页一〇七。
133. [数学是]对理想建构（常可应用于实际问题）的研究，并由此发现这些建构各部分之间先前未知的关系。——皮尔斯《世纪词典》条。
数学者，研理想之构制，其用或可济实务；探幽索隐，以发其各部间向所未明之关联也。
——皮尔斯《百稘辞典》条。
134. 数学是这样一种智力形式：我们通过它使现象世界的对象服从于量的概念。[临时定义]——豪伊森《数学的分科及其相互关系》，《思辨哲学杂志》第5卷，第164页。
数学者，智术之一种也。凭此则能使现象世界诸物，皆循乎量之理，受范于数之念。[暂定]——豪伊森《数学之分科及其相互关系》，《思辨哲学杂志》卷五，页一六四。
135. 数学是研究那些能使我们将图形延展和计量运动转化为数字的函变规律与转换的科学。——豪伊森《数学的分科及其相互关系》，《思辨哲学杂志》第5卷，第170页。
数学者，究函变之律、转换之法也。其能化图形之展拓、运动之量度为数理，探幽索隐，以通变化之妙。——豪伊森《数学之分科及其相互关系》，载《思辨哲学杂志》卷五，页一七〇。
第二章
数学的本质
201. 数学这门学科，从人类理性历史可追溯的最早时期起，就在古希腊那个非凡民族中遵循着科学的稳妥道路。但绝不可认为数学能像逻辑学那样轻易找到——或者说开辟出——那条康庄大道，毕竟逻辑学只涉及理性本身。相反，我相信存在漫长的探索时期（主要在埃及人当中），而这种转变应归功于某位天才灵光乍现引发的革命——他的实验明确指出了必须遵循的道路，并为后世开辟并规划出科学的稳妥之路。这场比发现好望角更重要的思想革命，其历史与那位幸运开创者的姓名却未能流传......当第一个证明等腰三角形性质的人（无论他叫泰勒斯或其他名字）灵光闪现时，他发现需要研究的并非图形中的可见元素或单纯概念，而是要根据先验概念，通过作图构造出自己赋予图形的属性。因此，要获得确凿的先验知识，就必须严格遵循图形构造时预设的概念进行推导。——康德《纯粹理性批判》第二版序言（纽约，1900），第690页。
数学者，自人智可稽之邃古，即循正道于希腊奇族之中。然勿谓其得王道若逻辑之易，盖逻辑唯论理性自身耳。吾意其先必历久试（多在埃及），而后得革命之变，此变盖由一人妙思，其试确示必由之途，为后世辟科学之坦道。此智变重于好望角之通，然其史与作者之名俱湮......首证等腰三角之性者（无论其名泰勒斯否），乃悟不必究形中之可见，但当依先验概念作图以成其性，故欲得确然先验之知，唯当循作图时所寓之理而推之。——康德《纯理批判》二版序（纽约，1900），页六九〇。
202. [当以正确精神研习时]，世间再无任何学问能比数学更和谐地调动心智的全部官能——此刻我正作为这门学科的谦卑代言人站在此处。也再没有其他学问能为研习者准备如此多美妙的惊喜，比哑剧的变形场景更奇妙，又仿佛通过层层启蒙，将研习者提升至更高层次的智性境界。——西尔维斯特《为数学家辩护》，《自然》第1卷，第261页。
若以正心参习，则天下学问，未有如数学之能调谐心智诸官者——余今忝列此学末席，敢为代言。亦无他学能备如许妙悟，其变通之奇，逾幻术百戏；其启牖之功，若登阶累进，可臻至妙灵明之境。——西尔维斯特《为数学家辩》，《自然》卷一，页二六一。
203. 思维经济在数学中臻于极致——这门学科不仅具有最完备的形式发展，还常为自然科学提供助力。尽管看似矛盾，但数学的力量恰恰在于规避一切冗余思考，实现思维运作的极度节俭。我们称为数字的秩序符号，已然构成精妙而经济的系统。当进行多位数乘法时运用乘法表（复用已有结果而非重复计算），当使用对数表以既有运算替代新计算，当用行列式直接求解方程组而非从头推导，当将新积分式分解为熟悉的形式——这些不过是对拉格朗日或柯西思维活动的粗浅摹仿：他们如同运筹帷幄的将领，在实施新运算时能精准调度已成体系的整套操作。——马赫《通俗科学讲演集》（1908），第224-225页。
思理之俭，于数学极臻其妙。是科形式至备，又频助格致之学。虽似诡而实然，数学之力正在避无谓之思，极俭其虑。序符所谓数者，早成妙简之系统。乘多位用乘表（取既得效而免重计），检对数代新运，以行列式解方程群，分新积式为习式——此皆拉格朗日、柯西之智影耳：彼等犹良将运筹，临新算之际，能精确调度已成之全策。——马赫《通俗科学讲演》（1908），页二二四至二二五。