1725.将四元数的研究过程与等效的笛卡尔方法相比（即便后者已充分利用高等代数改进），人们难免会觉得：两者的反差甚至比十进制与二进制、或古希腊算术的对比更强烈；亦如同公制系统的有序细分，对比英国那套荒谬的非系统单位（仅存的重量与度量衡表，或许是基础教学中最有效——即便不算最精巧——的折磨工具之一）。
——p.G.泰特
《英国科学促进会主席致辞（1871）》；《自然》第4卷，第271页
四元数之研，无论何域，比之等效笛卡尔法（纵后者已尽用高等代数之改进），其异之显，犹十进制之对二进制、古希腊算术；或公制之有序，对英之荒诞无度（其度量衡表，殆为启蒙教中最酷之具，纵非最巧）。
——泰特
《英国科学促进会会长演说（1871）》；《自然》第四卷，二百七十一页
1726.
的确，在纯数学家眼中，四元数有一个重大缺陷：它们无法应用于n维空间，只能局限于处理那可怜的三维空间——凡夫俗子注定困于其中，却束缚不了凯莱或西尔维斯特那样的无限探索欲。但从物理学角度看，这非但不是缺陷，反而是最大的优势。事实上，四元数专为“现实”应用而设计，摒弃了所有非必要元素，完全不考虑这是否会导致其无法应用于“不可想象”的领域。
——p.G.泰特
《英国科学促进会主席致辞（1871）》；《自然》第4卷，第271页
纯数学家视四元数，有一要害之弊：不能用于n维之域，仅囿于三维——此凡夫所居，却难束凯莱、西尔维斯特之远瞩。然自物理观之，此非弊也，实为至善。盖四元数专为“实有”而设，尽去冗余，不顾能否施于“不可思”者。
——泰特
《英国科学促进会会长演说（1871）》；《自然》第四卷，二百七十一页
1727.有句古老的警句称：英国统治海洋，法国统治陆地，德国统治云端。想必德国人正是从云端取来了“+”和“?”；这些符号催生的思想对人类福祉至关重要，绝非来自海洋或陆地。
——A.N.怀特海
《数学导论》（纽约，1911年），第86页
古谚有云：英主海，法主陆，德主云。观夫“+”“?”二符，其思深裨人道，非海陆所能出，盖德国人取诸云乎？
——怀特海（A. N. whitehead）
《数学引论》（纽约，1911年），八十六页
1728.至于这些不尽根数（人们近乎苛责地称它们为无理数、无规律数、不可解数，仿佛它们自身毫无价值），许多人否认其作为真正数的资格，常将它们从算术中驱逐，归入另一门（实则不算科学的）学科，即代数学。
——艾萨克·巴罗
《数学讲义》（伦敦，1734年），第44页
若夫不尽根数（人或讥之曰无理、无章、不可解，似其本身无足取），众多否认其为数，常逐之于算术，归诸代数——然代数非真科学也。
——巴罗（Isaac barrow）《数学讲义》（伦敦，1734年），四十四页
1729.若如惠威尔所言，科学胜利与进步的本质在于：它让我们能将先辈视为不可理解的观点，变为显而易见且必然的真理，那么将数的概念扩展到包含无理数（我们随即补充，还有虚数），便是纯数学史上最伟大的进步。
——赫尔曼·汉克尔
《复数理论》（莱比锡，1867年），第60页
惠威尔曰：科学之胜与进，在使古人所不解者，化为显且必然之理。诚哉斯言！则数之概念扩及无理，乃至虚数，实为纯数学千古之盛步。
——汉克尔（hermann hankel）《复数论》（莱比锡，1867年），六十页
1730.
长期以来，虚数概念之所以被错误理解并笼罩神秘色彩，很大程度上源于符号体系的不当。例如，若将+1、?1、√?1称为正向单位、反向单位、侧向单位，而非正、负、虚数（甚至不可能数），这种神秘感便无从谈起。
——c.F.高斯
《双二次剩余理论·第二篇评注》；《着作集》第2卷（哥廷根，1863年），第177页
虚数之理，久被谬解，蒙以玄秘，多因符号之不当。譬如+1、?1、√?1，若谓之正向、反向、侧向单位，而非正负、虚（乃至不可能），则玄秘自消。
——高斯（c. F. Gauss）
《双二次剩余论·后篇》；《全集》第二卷（哥廷根，1863年），一百七十七页
=1731. 虚数，这一复杂神秘主义的心头产物。
——欧根·杜林
《力学一般原理的批判史》（莱比锡，1877），第517页。
虚数者，玄思之嫡子，幽隐之精魄也。
——欧根·杜林
《力学通论考史》（莱比锡，1877），五百十七页。
=1732. 从纯数论唯一可接受的标准来看，i与负数、分数和无理数一样具有“虚数”属性，但仅限于此：它们都只是为了表示运算结果而设计的符号，即便这些结果并非（正整数意义上的）数字。
——h.b.法恩
《代数数系》（波士顿，1890），第36页。
以纯粹算理之绳墨衡之，则虚数i之谓，犹负、分、无理数之属，仅此而已。皆为筭法之符号，所以表运算之果，纵其非真数（正整数）亦可。
——h.b.法恩
《代数数系》（波士顿，1890），三十六页。
=1733. 在四元数理论中，符号√-1被严格定义为“垂直性”的代表。这一奇妙的空间代数正是依赖于该符号的特殊用法，才得以兼具对称性、优雅性与强大功能。四元数的不朽创立者已证明，该符号在其他情形中还可被赋予不同含义。但它最强大的作用，在于以“魔法般的力量”将现实宇宙翻倍——创造出一个与之对应的理想宇宙。二者既可相互比较对照，又通过奇妙的关联纽带构成有机整体。现代分析学正是从中发展出了卓越的几何学体系。
——本杰明·皮尔斯
《论线性代数的用途与变换》；《美国数学杂志》第4卷（1881），第216页。
符号√-1，于四元术中专指垂直之象，严而有界。此空间之妙算，赖其特用，方得对称、雅洁而力雄。四元术之不朽创立者证之：此符号于他境亦可别赋新义。然其最着之能，在以神妙之力，令实有宇宙翻倍，旁立理想之宇，与之对映。二宇既可比照，复以奇纽相连，成一有机体。近世分析之学，由此衍出超绝几何。
——本杰明·皮尔斯
《线性代数用变论》；《亚美利加算学杂志》第四卷（1881），二百十六页。
=1734. 对“不可想象之物”（虚数）的构想——对这种不仅不存在、更不可能存在之物的度量——是人类智力最杰出的成就之一。无人能否认这类想象确实属于“虚构”，但其导向的成果比诗人想象的任何产物都更宏伟。虚数演算是开启物理科学的关键钥匙之一。这些“不可想象之境”在许多领域成为我们通向实证知识的唯一路径。正是虚数演算为光本身驱散了黑暗，而在所有关于电、磁、热及其他微妙物理现象的现代研究中，它们都是最强有力的工具。
——托马斯·希尔
《北美评论》第85卷，第235页。
构画不可思之物（虚数），量度既非实有、更不可有者，乃人智之至伟功也。谁能否此等玄想之为？然其所臻之境，远迈诗人幻域。虚数之算，实为格物之要钥。此不可思之域，多为通实证之唯一津梁。光本在幽，赖虚数之算而得明；近世研电、磁、热及诸微妙物理者，皆恃之为利器。
——托马斯·希尔
《北美述评》第八十五卷，二百三十五页。
=1735. 虚数在几何学中的所有有效应用，都遵循“从实数开始、以实数结束，仅在中间步骤使用虚数”的模式。在这类情形中，论证的起点与终点都具有真实的空间解释（这也是空间解释唯一重要的环节）；中间过程则纯粹以代数方式处理代数量，可进行任何代数允许的运算。只有当最终结果具备空间解释可能时，其结论才可被视为几何命题。其他情形下使用几何语言，只是辅助想象的便捷手段。例如，提及与“圆环点”相关的射影性质，本质上是用纯代数性质的助记符号——圆环点并非真实存在于空间中，而是几何方程变换时引入的辅助量。虚数的几何解释不产生矛盾并不奇怪：因为其解释完全遵循代数规则，而我们已认可这些规则在虚数范畴内的有效性。当空间感知完全让位于代数时，代数规则主宰一切，自然不会出现矛盾。
——伯特兰·罗素
《几何学基础》（剑桥，1897），第45页。
虚数于几何之用，凡有效者，必始于实数，终于实数，唯中程用之。此时也，论之始终皆有实空间之解（此乃空间解释唯一要处）；中程则纯以代数术理代数式，凡代数所许，皆可为之。唯终果可解为空间者，其论方得称几何。他时用几何语，不过便忆助想耳。譬如言圆点之射影性，实乃代数性之记法——圆点非在空间，唯是变易几何方程时之助量。虚数几何解之无悖，不足怪也：因其解尽循代数之规，而吾辈既许代数之则可行于虚数。空间之觉既泯，代数主之，自无抵牾。
——伯特兰·罗素
《几何原本》（剑桥，1897），四十五页。
=1736. 事实上，若将代数理解为对各类复合量（无论有理数、无理数还是空间量）应用算术运算的学问，那么印度的博学婆罗门才是代数的真正发明者。
——赫尔曼·汉克尔
《古代与中世纪数学史》（莱比锡，1874），第195页。
若以代数为算术施于诸复合量（无论有理数、无理数、空间量）之学，则天竺博学婆罗门，实为代数真发明者也。
——赫尔曼·汉克尔
《古今算学史》（莱比锡，1874），一百九十五页。
=1737. 值得注意的是，印度数学对现代科学的渗透程度极深。现代算术与代数的形式和精神本质上属于印度而非希腊传统。
——F.卡乔里
《数学史》（纽约，1897），第100页。
印度算学入今世之学，深矣。近世算术与代数之体与神，本出印度，非希腊也。
——F.卡乔里
《算学史》（纽约，1897），一百页。
=1738. 代数学中存在许多问题，学者们到现在都没能成功解决。他们在着作中列出了其中一些问题，目的是证明这门学科存在难点：既要让那些声称“代数中没有超出他们能力范围的东西”的人闭嘴，也要提醒数学家不要试图回答所有被提出的问题，还要激励有才华的人尝试解决这些问题。我从这些问题中选了七个：
1. 把10分成两部分，使得每一部分加上它的平方根，然后把这两个和相乘，乘积等于原来设定的数。
2. 哪个平方数，当它加上10或者减去10时，得到的和与差都是平方数？
3. 有个人说，他欠扎伊德10，除了欠阿米尔的钱数的平方根；他欠阿米尔5，除了欠扎伊德的钱数的平方根。
4. 把一个立方数分成两个立方数。
5. 把10分成两部分，使得每一部分除以另一部分，再把两个商相加，和等于其中一部分。
6. 存在三个成等比数列的平方数，这三个数的和也是一个平方数。
7. 有一个平方数，当它加上自身的平方根和2，或者减去自身的平方根和2时，得到的和与差都是平方数。
——《算术精要》
（代数学内容，引自赫顿《哲学与数学词典》伦敦，1815年，第一卷，第70页）
代数学中，多有难题，学者研之至今，终未得解。彼于着述中列此数题，盖欲明此学之艰：一使妄言代数无出己能之外者默然；二警算家勿轻诺解答一切所问；三励才俊之士图其破解。余择其七，列之于下：
1. 分十为二，令各加其平方根，两和相乘，其积等于原数。
2. 有某平方数，加十或减十，其和与差皆为平方数，求此数。
3. 某人言：欠扎伊德十，唯除欠阿米尔之数的平方根；欠阿米尔五，唯除欠扎伊德之数的平方根。
4. 将一立方数分为二立方数。
5. 分十为二，令彼此相除，两商相加，其和等于其中之一。
6. 有三平方数，成等比数列，且三数之和亦为平方数。
7. 有一平方数，加自身之根与二，或减自身之根与二，其和与差皆为平方数。
——《算术精要》
（代数内容，引自赫顿《哲学与数学词典》伦敦，1815年，第一卷，第七十页）